En geometria , un dodecàgon és un polígon de dotze costats i, per tant, de dotze vèrtexs .
El nom "dodecàgon" prové del grec antic dodecagon , de dodeca "dotze" + gon "angle".
Els angles interns d'un dodecàgon sumen 1800º.
Dodecàgon regular
Un dodecàgon és regular quan tots els seus costats i angles tenen la mateixa mesura. Els angles interiors d'un dodecàgon són de 1800º / 12 = 150º.
El dodecàgon regular és construïble amb regle i compàs .
El símbol de Schläfli és {12} i pot ser construït com un hexàgon truncat, t{6}, o un triangle doblement truncat, tt{3}.
Perímetre
El perímetre d'un dodecàgon regular de costat
L
{\displaystyle L}
és
P
=
12
⋅
L
{\displaystyle P=12\cdot L}
O bé, en termes del circumradi
r
{\displaystyle r}
és
P
=
24
r
tan
(
π
12
)
=
12
r
2
−
3
≃
6.21165708246
r
{\displaystyle {\begin{aligned}P&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12r{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246\,r\end{aligned}}}
Àrea
L'àrea d'un dodecàgon regular de costat
L
{\displaystyle L}
és
A
=
3
⋅
L
2
tan
(
π
12
)
=
L
2
⋅
(
6
+
3
3
)
≃
11
,
1962
L
2
{\displaystyle A={\frac {3\cdot L^{2}}{\tan({\frac {\pi }{12}})}}=L^{2}\cdot (6+3{\sqrt {3}})\simeq 11,1962\ L^{2}}
O bé, en funció de l'apotema
a
{\displaystyle a}
i del costat
L
{\displaystyle L}
del dodecàgon,
A
=
P
⋅
a
2
=
12
⋅
L
⋅
a
2
=
6
⋅
L
⋅
a
{\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}={\frac {12\cdot L\cdot a}{2}}=6\cdot L\cdot a}
També, en funció d'únicament l'apotema
a
{\displaystyle a}
,
A
=
a
2
⋅
(
24
−
12
3
)
{\displaystyle A=a^{2}\cdot (24-12{\sqrt {3}})}
I, finalment, en funció del radio
r
{\displaystyle r}
de la circumferència circumscrita al dodecàgon,
A
=
3
r
2
{\displaystyle A=3r^{2}}
Construcció d'un dodecàgon regular
A continuació es presenta un mètode de construcció del dodecàgon regular amb regle i compàs en 23 passos. Cal tenir en compte que entre els passos 8 i 11 no es modifica l'obertura del compàs .
Animació de la construcció d'un dodecàgon regular
Vegeu també
Referències
↑ «Dodecàgon ». Gran Enciclopèdia Catalana . Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana .
↑ «dodecagon ». Dictionary.com. . (anglès)
↑ «dodecagon ». Wolfram MathWorld. . (anglès)
↑ Clarence Addison Willis . B. Blakiston's Son & Company. Plane Geometry: Experiment, Classification, Discovery, Application (en anglès), 1922.
↑ 5,0 5,1 Sapiña , R. «Calculadora de l'àrea i perímetre del dodecàgon regular » (en castellà). Problemas y ecuaciones . ISSN : 2659-9899 .
↑ Wells , David «The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers » (en anglès). Penguin , 1997, pàg. 137.
Viccionari
1–10 costats 11–20 costats 21–100 costats (seleccionats) >100 costats Polígons estelats (5–12 costats)