I världen av Stirlings formel finner vi en stor mångfald av förhållningssätt, åsikter och perspektiv. Oavsett om det är ur vetenskap, litteratur, politik eller något annat område har Stirlings formel varit föremål för studier, debatt och reflektion genom historien. I den här artikeln kommer vi att utforska olika aspekter relaterade till Stirlings formel, från dess ursprung till dess inverkan på dagens samhälle. Vi kommer att analysera de olika teorierna, forskningen och upptäckterna som har bidragit till att utöka vår förståelse av Stirlings formel, såväl som de kontroverser och utmaningar som den står inför just nu. Genom denna omfattande analys kommer vi att försöka belysa detta relevanta och spännande ämne, och se hur det har format och fortsätter att forma vår värld.
Stirlings formel är en approximation för stora fakulteter, upptäckt av Abraham de Moivre, men namngiven efter James Stirling. Används exempelvis inom statistisk mekanik där n är av ordningen ∝1023, men även för n ≥ 5 ger den acceptabel noggrannhet. Formeln kan skrivas
vilket ofta uttrycks som
(Se limes, kvadratrot, π, e.) För stora n så är högerledet en god approximation för n! och går mycket snabbare och enklare att beräkna. För exempelvis 30! ger approximationen värdet 2,6451 · 1032 medan det verkliga värdet är 2,6525 · 1032.
Formeln kan även uttryckas som
eller om n >> ln n,
Genom att använda Stirlings formel kan man visa att
Konvergenshastigheten av ovanstående gränsvärde uttrycks med formeln
där Θ(1/n) betecknar funktionen vart asymptotiska beteende för n→∞ och motsvarar konstant tid 1/n; se Big O notation.
Eller mer exakt:
där
Formeln liksom dess feluppskattning kan härledas genom följande argument. Istället för att approximera n! kan den naturliga logaritmen ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ... + ln(n) betraktas. Euler-Maclaurins formel uppskattar summor av dessa slag. Nästa steg är sedan att visa approximeringsformeln (i dess logaritmiska) form
(En mer informell härledning baseras på att byta ut summan med en integral: .)
Formeln upptäcktes först av Abraham de Moivre på formen
Stirlings bidrag till approximationen bestod i att visa att konstanten är .